Question

定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意实数a，b，有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）若f（x-2）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（a+b）=f（a）•f（b），令a=b=0，可求f（0）=1；
（2）当x＞0时，f（x）＞1，且由（1）知，当x=0时，f（0）=1＞0，所以欲证对任意的x∈R，恒有f（x）＞0，所以只需证明x＜0时，恒有f（x）＞0即可，再根据f（a+b）=f（a）•f（b），令a=x，b=-x，即可得f（x）与f（-x）同号，即可证得；
（3）根据f（a+b）=f（a）•f（b），把不等式f（x-2）•f（2x-x²）＞1化为f（-x²+3x-2）＞1，再借助函数的单调性解不等式即可．

解答：解：（1）∵f（a+b）=f（a）•f（b），
∴令a=b=0，则f（0）=[f（0）]²，
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；  
（2）∵f（a+b）=f（a）•f（b）对任意实数a，b均成立，
∴令a=x，b=-x，则有f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

，
∵x＞0时，f（x）＞1＞0，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）＞0，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞0，
∵由（1）可知，当x=0时，f（0）=1＞0
∴对任意x∈R，f（x）＞0； 
（3）设x₁∈R，x₂∈R，且x₂＞x₁，
依题意可知，f（x₂）＞0，f（x₁）＞0，x₂-x₁＞0，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）•f（x₁），
∴

f(x2)

f(x1)

=f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函数，
∵f（a+b）=f（a）•f（b），
∴f（x-2）•f（2x-x²）=f[x-2+（2x-x²）]=f（-x²+3x-2），
又∵1=f（0）且f（x）在R上单调递增，
∴由f（-x²+3x-2）＞f（0）可得，-x²+3x-2＞0，解得，1＜x＜2，
∴x的取值范围为（1，2）．

点评：本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明，考查了转化分析与推理证明的能力．解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]”是证明单调性的关键，这里体现了解题中要向条件化归的策略．属于中档题．