已知函数f(x)=x+ax．＜b的解集是(1.3).求不等式ax2-bx+1＜0的解集,.证明f(x)在(0.2]上是单调递减函数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)=x+

(a＞0)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax²-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），证明f（x）在（0，

]上是单调递减函数．

分析：（1）由不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即x+

＜b的解集为（1，3）可知x=1，x=3是x+

=b 的根，从而可求a，b，进而可求不等式ax²-bx+1＜0的解集
（2）由f（1）=f（2）可求a，利用函数单调性的定义可证明

解答：解：（1）∵不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即x+

＜b的解集为（1，3）
∴x=1，x=3是x+

=b 的根，
∴a=3，b=4
∴ax²-bx+1=3x²-4x+1＜0的解集为{x|

＜x＜1}
（2）由f（1）=f（2）可得，1+a=2+

∴a=2，f（x）=x+

设0＜x₁＜x₂≤

则f（x₁）-f（x₂）=x1+

-x2-

=（x₁-x₂）+

2(x2-x1)

x1x2

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂≤

∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=x+

在（0，

]单调递减

点评：本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系的应用，及利用定义判断函数的单调性，属于函数性质的应用．

练习册系列答案

（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(

-1)2+(

-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k²，b=（k+c）²时，记f（x）=f₁（x）；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，记f（x）=f₂（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞

4c2

k(k+c)

．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f₁(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f₂(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f₂(x)－f₁(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x²，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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