Question

       (本题满分12分)设椭圆C:(“a>b〉0)的左焦点为，椭圆过点P（).(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点D(1, 0),直线l:与椭圆C交于a、B两点,以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.

Answer 1

解 （1）由题意知，b² = a²－3，由 得 2a⁴－11a² + 12 = 0，

所以（a²－4）（2a²－3）= 0，得 a² = 4或（舍去），

因此椭圆C的方程为．                          ……………… 4分

（2）由 得 ．

所以4k² + 1＞0，，

得 4k² + 1＞m²．                ①                       ……………… 6分

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），则，，

于是 ，，．

设菱形一条对角线的方程为，则有 x =－ky + 1．

将点M的坐标代入，得 ，所以．     ②

……………… 9分

将②代入①，得，

所以9k²＞4k² + 1，解得 k∈．         ……………… 12分

法2  

．直线l的方向向量为（1，k），则由菱形对角线互相垂直得，即，－3km = 4k² + 1，， 代入①即得．

法3  设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），则，，

于是，两式相减可得 ，即 x₀ + 4ky₀ = 0．        ①

因为 QD⊥AB，所以 ．                          ②

由①②可解得 ，，表明点M的轨迹为线段（）．

当，k∈（，+∞）；当，k∈（－∞,）．

综上，k的取值范围是k∈．