Question

已知函数，x∈[0，1]，
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x³-3ax-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）对函数f（x）求导，得，
令f′（x）=0解得，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以，当时，f（x）是减函数；当时，f（x）是增函数，
当x∈（0，1）时，f（x）的值域为[-4，-3]。
（2）对函数g（x）求导，得，
∵a≥1，当x∈（0，1）时，，
因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，
从而当x∈[0，1]时有，
又，
即当x∈[0，1]时有，
任给，
则，
即，
又a≥1，所以a 的取值范围为。