Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分别是BC、PE的中点．
（1）求证：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点O，连接OP，OE，由等腰三角形三线合一，及OE∥AB，可得OE⊥AD，又由侧面PAD⊥底面ABCD，我们易得到AD⊥平面OPE．再由线面垂直的性质定理可得到AD⊥PE；
（2）有两种解法，一是取OE的中点F，连接FG，OG，结合（1）的结论，我们易得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE即可得到答案；二是建立空间坐标系，确定各个顶点的坐标，及平面ADE及平面ADG的法向量，然后代入向量夹角公式，我们易求出二面角E-AD-G的余弦值，进而求出二面角E-AD-G的正切值．

解答：证明：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OE∵PA=PD，∴OP⊥AD又E是BC的中点，
∴OE∥AB，∴OE⊥AD．又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE?平面OPE，∴AD⊥PE
（2）
解法一：
取OE的中点F，连接FG，OG，则由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角
∵PA=PD，∠APD=60°，∴△APD为等边三角形，且边长为2
∴OP=

3

2

×2=

3

，FG=

1

2

OP=

3

2

，OF=

1

2

CD=

2

2

=1，∴OG=

7

2

∴cos∠GOE=

2 7

7

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，2，0）
∴G(0，1，

3

2

)，

DA

=(2，0，0)，

DG

=(1，1，

3

2

)．设平面ADG的法向量为n=（x，y，z）
由

n• DA =0 n• DG =0

，得

2x=0 x+y+ 3 2 z=0

∴n=(0，-

3

2

，1)又平面EAD的一个法向量为

OP

=(0，0，

3

)
又因为cos＜n，

OP

＞=

n• OP

|n|•| OP |

=

3

7 2 • 3

=

2 7

7

则sin＜n，

OP

＞=

5 7

7

，tan＜n，

OP

＞=

5

2

∴二面角E-AD-G的正切值为

5

2

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及用空间向量求平面间的夹角，其中求二面角的值时，一是几何法，关键是找到二面有的平面角，二是向量法，关键是求出两个平面的法向量．