题目内容

已知函数f(x)=
1
2
cos2x+
3
2
sinxcosx+1  ，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[
π
12
，
π
4
]上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量x的值．
分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式
（1）利用周期公式求出函数的周期；
（2）求出2x+
π
6
∈[
π
3
，
2π
3
]，根据正弦函数的单调性求出函数的最值，写出求函数取得最大值和最小值时的自变量x的值．
解答：解：f(x)=
1
2
cos2x+
3
2
sinxcosx+1=
1
4
cos2x+
3
4
sin2x+
5
4
=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
5
4

（1）f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π
（2）∵x∈[
π
12
，
π
4
]∴2x+
π
6
∈[
π
3
，
2π
3
]
∴当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
时，f(x)max=
1
2
+
5
4
=
7
4

当2x+
π
6
=
π
3
或2x+
π
6
=
2π
3
时，即x=
π
12
或x=
π
4
时，f(x)min=-
1
2
+
5
4
=
3
4
点评：本题考查三角函数的化简求值，函数周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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