Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得， 从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD， 又PD⊥底面ABCD， 可得BD⊥PD， 所以BD⊥平面PAD， 故 PA⊥BD。
（Ⅱ）解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长， 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则， ， 设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则， 即，因此可取n=， 设平面PBC的法向量为m，则， 可取m=（0，-1，）， ∴， 故二面角A-PB-C的余弦值为。