Question

已知数列{a}满足a₁=0， ，n=2，3，4，…
（Ⅰ）求a₅，a₆，a₇的值；
（Ⅱ）设，试求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论a_n与a_n+1的大小关系。

Answer 1

解：(Ⅰ)a₁=0，a₂=1+2a₁=1，a₃=2+2a₁=2，a₄=l+2a₂=3，
a₅=3+2a₂=5；a₆=l+2a₃=5，a₇=4+2a₃=8；
(Ⅱ)由题设，对于任意的正整数n，都有：，
∴，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴；
(Ⅲ)对于任意的正整数k，
当n= 2k或n=1，3时，a_n＜a_n+1；
当n=4k+l时，a_n=a_n+1；
当n=4k+3时，an＞a_n+1。
证明如下：首先，由a_l=0，a₂=1，a₃=2，a₄=3可知n=1，3时，an＜a_n+1；
其次，对于任意的正整数k，
n=2k时，
a_n-a_n+1=a_2k-a_2k+1=(1+2a_k)-(k+l+2a_k)=-k＜0；
n=4k+l时，
an-a_n+1=a_4k+l-a_4k+2=(2k+1+2a_2k)-(1+2a_2k+1)=2k+2a_2k-2a_2k+1
=2k+2(1+2a_k)-2(k+1+2a_k)=0，
所以a_n=a_n+1；
n=4k+3时，
a_n-a_n+1=a_4k+3-a_4k+4=(2k+2+2a_2k+1)-(1+2a_2k+2)
=2k+l+2a_2k+l-2a_2k+2=2k+1+2(k+1+2a_k)-2(1+2a_k+l)=4(k+a_k-a_k+l)+l，
事实上，我们可以证明：对于任意正整数k，k+a_k≥a_k+1(*)（证明见后），
所以，此时a_n＞a_n+1；
综上可知：结论得证。
对于任意正整数k，k+a_k≥a_k+1(*)的证明如下：
1)当k=2m(m∈N*)时，
k+a_k-a_k+1=2m+a_2m-a_2m+1=2m+(1+2a_m)-(m+l+2a_m)=m＞0，满足(*)式；
2)当k=l时，1+a₁=l=a₂，满足(*)式；
3)当k=2m+l(m∈N*)时，
k+a_k-a_k+1=2m+l+a_2m+l-a_2m+2=2m+l+（m+1+2a_m）-(1+2a_m+1)
=3m+l+2a_m-2a_m+1=2（m+ a_m-a_m+1）+(m+1)，
于是，只须证明m+a_m-a_m+1≥0，
如此递推，可归结为1）或2）的 情形，于是(*)得证。