题目内容

设P为锐角△ABC内任意一点,P点到三边BC、CA、AB的距离分别为PD、PE、PF,试求BD2+CE2+AF2的最小值.

解：设BC=a,CA=b,AB=c,BD=x,CE=y,AF=z,如图,连结PA、PB、PC.

由勾股定理,得(x2+PD2)+(y2+PE2)+(z2+PF2)=PB2+PC2+PA2

=(c-z)2+PF2+(a-x)2+PD2+(b-y)2+PE2.

∴x2+y2+z2=(a-x)2+(b-y)2+(c-z)2,

即ax+by+cz=(a2+b2+c2),                                                  ①

由柯西不等式,得ax+by+cz≤.                    ②

由①②,得≥(a2+b2+c2).

∴x2+y2+z2≥(a2+b2+c2),当且仅当x=λa,y=λb,z=λc时等号成立.

将它们代入①式,得λ=.

∴当x=,y=,z=,即P为△ABC的外心时,BD2+CE2+AF2达到最小值(a2+b2+c2).

练习册系列答案
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锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧
AB
于点E，连接EC，求∠OEC．
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12
01
]的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．
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（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N*，求证：
C
1
n
+
C
2
N
+L+
C
N
N
≤
n(2n-1)
．
给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|
PA
|-|
PB
|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
AB
与
AP
夹角为锐角θ，且满足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为
 
．
设P为锐角△ABC内任意一点,P点到三边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF,试求BD2+CE2+AF2的最小值.

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设n∈N*，求证：++L+≤．

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