Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

(n+2 )a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

(n∈N+)，且a₁=1
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄猜测a_n并证明；
（Ⅱ）若bn=2an-1+an-1且b_n的前n项为S_n，试比较S_n与n²+n的大小．

Answer 1

分析：（I）分别取n=1，2，3代入递推式即可得出a₂，a₃，a₄猜测a_n=n，再利用数学归纳法证明即可；
（II）利用（I）即可得出b_n，再利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出S_n．分别取n=1，2，3，4得出S_n与n²+n的大小关系，对于n≥4，利用二项式定理放缩即可证明．

解答：解：（I）∵a_n+1=

(n+2 )a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

(n∈N+)，且a₁=1．
∴a₂=

3 a 2 1 -a1+1+1

a 2 1 +1

=

3×12-1+1+1

12+1

=2，
a₃=

4 a 2 2 -2a2+2+1

a 2 2 +1

=

4×22-2×2+3

22+1

=3，
a4=

5 a 2 3 -3a3+3+1

a 2 3 +1

=

5×32-3×3+4

32+1

=4．
猜想a_n=n．
下面用数学归纳法证明：1）当n=1时，a₁=1，命题成立．
2）假设当n=k（n∈N^*）时，命题成立．即a_k=k．
则当n=k+1时，a_k+1=

(k+2) a 2 k -kak+k+1

a 2 k +1

=

(k+2)•k2-k2+k+1

k2+1

=k+1．
综上由1）2）可得：命题对于?n∈N^*都成立．
∴a_n=n（n∈N^*）．
（II）由（I）可知：bn=2n-1+n-1．
∴Sn=

2n-1

2-1

+

n(n+1)

2

-n，
∴Sn=2n-1+

n(n-1)

2

．
∴Sn-(n2+n)=2n-

n2+3n+2

2

．
经验证：当n=1，2，3时，2n＜

n2+3n+2

2

，即Sn＜n2+n．
当n=4时，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

，即Sn＞n2+n．
猜想当n≥4时，2n＞

n2+3n+2

2

．
当n≥4时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

=1+n+

n(n-1)

2

+

n(n-1)(n-2)

6

≥1+n+

n(n-1)

2

+

n×3×2

6

=

n2+3n+2

2

．
即Sn＞n2+n．
综上可知：当n=1，2，3时，Sn＜n2+n．
当n≥4时，Sn＞n2+n．

点评：熟练掌握数学归纳法、等差数列和等比数列的前n项和公式、二项式定理放缩等是解题的关键．