Question

【题目】已知函数，为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】

（1）分子所对应的二次函数,分情况讨论的正负以及根与1的大小关系，即可；（2）由（1）得两个极值点满足，所以，则，将化简整理为的函数即，构造函数求导证明不等式即可.

(1)函数的定义域为.

由题意，.

（i）若，则，于是，当且仅当时，，所以在单调递减.

（ii）若，由，得或，

当时，；

当时，；

所以在单调递减，单调递增.

（iii）若，则，

当时，；当时，；

所以在单调递减，单调递增

综上所述，当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，上单调递增；

当时，函数在上单调递减，上单调递增.

（2）由（1）知，有两个极值点当且仅当，

由于的两个极值点满足，所以，则，

由于

.

设.

.

当时，，所以.

所以在单调递减，又.

所以，即.