Question

【题目】如图，四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（I）取的中点，连结，，通过证明四边形是平行四边形证得，由此证得平面.（II）以为原点，以、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值．

证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，

∵是棱的中点，∴，且，

∵，，，

∴，，

∴四边形是平行四边形，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

解：（Ⅱ）以为原点，以、分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

设是平面的一个法向量，

由，即，令，得，

设是平面的法向量，

由，即，令，得，

，

∵二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为．