Question

（2013•和平区二模）设S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

an+1

an

+

an

an+1

，且数列{b_n}的前n项和T_n，证明：2n＜Tn＜2n+

2

3

．

Answer 1

分析：（I）再写一式，两式相减，结合{a_n}是正项数列，可得数列是等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）确定数列的通项，利用基本不等式，结合裂项求和，即可证得结论．

解答：（I）解：∵Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

∴Sn-1=

1

4

an-12+

1

2

an-

3

4

（n≥2）
两式相减可得an=

1

4

(an2-an-12)+

1

2

（a_n-a_n-1）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

∴a₁=3
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（II）证明：∵

2n+3

2n+1

＞0，

2n+1

2n+3

＞0，且

2n+3

2n+1

≠

2n+1

2n+3

∴bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+3

2n+1

+

2n+1

2n+3

＞2

2n+3 2n+1 • 2n+1 2n+3

=2
∴T_n＞2n
∵b_n=

2n+3

2n+1

+

2n+1

2n+3

=2+2（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
∴T_n=2n+2（

1

3

-

1

5

）+2（

1

5

-

1

7

）+…+2（

1

2n+1

-

1

2n+3

）=2n+2（

1

3

-

1

2n+3

）＜2n+

2

3

∴2n＜Tn＜2n+

2

3

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．