Question

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点M到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）写出曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） . （II）.

【解析】

（Ⅰ）曲线的方程根据定义易得，，c=1, 所以的方程为;

,转化为P在直线的垂直平分线上，又点在轴上，解得，，求得范围。   

解：（Ⅰ）由题设知,

根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，

设其方程为

则， ，，所以的方程为.            ………5分

（II）依题设直线的方程为.将代入并整理得，

 . .              ………6分

设，，

则，                            ..………7分

设的中点为，则，，即.                                           ………8分

因为，

所以直线的垂直平分线的方程为， ……9分

令解得，，                        .………10分

当时，因为，所以；           .………12分

当时，因为，所以.          .………13分

综上得点纵坐标的取值范围是.             .………14分