Question

已知函数f（x）=cos x+

1

2

x，x∈[-

π

2

，

π

2

]，sin x₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]，那么下面命题中真命题的序号是

①③

①f（x）的最大值为f（x₀）；
②f（x）的最小值为f（x₀）
③f（x）在[-

π

2

，x0]上是增函数；
④f（x）在[x0，

π

2

]上是增函数．

Answer 1

分析：由于sinx₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]求出x₀，利用导函数求出原函数的最值及其在[-

π

2

，

π

2

]上的单调区间．

解答：解：因为sinx₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x₀=

π

6

；
又函数的导数为f′（x）=

1

2

-sinx，
由f′（x）=

1

2

-sinx＞0，解得sinx＜

1

2

，
又因为x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以-≤

π

2

x＜

π

6

时，函数单调递增，
由f′（x）=

1

2

-sinx＜0，解得sinx＞

1

2

，
又因为x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以

π

6

＜x≤

π

2

时，函数单调递减，
所以①③正确；
故答案为：①③．

点评：本题通过命题真假的判定考查了导数在研究函数单调性中的应用，导数在研究函数单调性中的应用是高考必考内容．