Question

（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，，且为AC中点.

   （I）证明：平面ABC；

   （II）求直线与平面所成角的正弦值；

   （III）在上是否存在一点E，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置.

Answer 1

解：（I）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，

所以          …………1分

又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，

且平面AA₁C₁C，

所以平面ABC.     …………4分

   （II）如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z建立空间直角坐标系.

由题意可知，

又AB=BC，

所以得：

则有：

        …………6分

设平面AA₁B的一个法向量为，则有

令y=1，得

所以     …………7分

     …………9分

因为直线A₁C与平面A₁AB所成角和向量n与所成锐角互余，

所以            …………10分

   （III）设，        …………11分

即

所以   …………12分

令OE//平面A₁AB，得       …………13分

即

即存在这样的点E，E为BC₁的中点.     …………14分

解析:

略