Question

设函数f（x）=x²+kln（x+2），其中k≠0
（Ⅰ）当k＞2判断f（x）在（-2，+∞）上的单调性．
（Ⅱ）讨论 f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）定义域，求导函数，判断其符号，可得f（x）在（-2，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）分类讨论：（1）当k≥2时，由（Ⅰ）知f（x）无极值点；（2）当k＜2时，利用导数的正负确定函数的单调性，从而可得函数的极值点．

解答：解：由题设函数f（x）定义域是（-2，+∞），…（1分）
函数f′(x)=2x+

k

x+2

=

2x2+4x+k

x+2

…①…（2分）
（Ⅰ）当k＞2时，①式的△=16-8k=8（2-k）＜0，∴2x²+4x+k＞0，又x+2＞0，
∴f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0…（4分）
∴f（x）在（-2，+∞）上的单调递增． …（5分）
（Ⅱ）（1）当k≥2时，由（Ⅰ）知f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

≥0，
∴f（x）在（-2，+∞）上的单调递增，故f（x）无极值点．…（7分）
（2）当k＜2时，由2x²+4x+k=0解得x=

-2± 4-2k

2

，此时f′（x）=0（8）
当x＜

-2- 4-2k

2

或x＞

-2+ 4-2k

2

时，2x²+4x+k＞0
当

-2- 4-2k

2

＜x＜

-2+ 4-2k

2

时，2x²+4x+k＜0…（8分）
1°当k≤0时，

-2- 4-2k

2

≤-2，-2＜x＜

-2+ 4-2k

2

时，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＜0，x＞

-2+ 4-2k

2

，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0，
∴f（x）在(-2 ， 

-2+ 4-2k

2

)上单减，在(

-2+ 4-2k

2

 ， +∞)上单增，
∴x=

-2+ 4-2k

2

为极小值点，无极大值点．…（10分）
2°当0＜k＜2时，

-2- 4-2k

2

＞-2，
当-2＜x＜

-2- 4-2k

2

或x＞

-2+ 4-2k

2

时，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0

-2- 4-2k

2

＜x＜

-2+ 4-2k

2

时，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＜0
∴f（x）在(

-2- 4-2k

2

 ， 

-2+ 4-2k

2

)上单减，在(-2 ， 

-2- 4-2k

2

)和(

-2+ 4-2k

2

 ， +∞)上单增，∴x=

-2- 4-2k

2

为极大值点，x=

-2+ 4-2k

2

为极小值点．…（12分）
综上，k≤0时，x=

-2+ 4-2k

2

为极小值点，无极大值点；0＜k＜2时，x=

-2- 4-2k

2

为极大值点，x=

-2+ 4-2k

2

为极小值点；k≥2时，f（x）无极值点．　　　　　　　　　　　　　　…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是正确求导，恰当分类，属于中档题．