题目内容

曲线 $数学公式$ 在点（4，e²）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．

e²
分析：先利用复合函数求导法则求已知函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线斜率，进而利用直线的点斜式写出切线方程，最后求直线与坐标轴的交点，计算直角三角形的面积即可
解答：y′= $\text{[math]}$ ，y′|_x=4= $\text{[math]}$ e²
∴曲线 $\text{[math]}$ 在点（4，e²）处的切线方程为y-e²= $\text{[math]}$ e²（x-4）
即y= $\text{[math]}$ e²x-e²
令x=0，得y=-e²，令y=0，得x=2
∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为 $\text{[math]}$ ×2×e²=e²
故答案为e²
点评：本题主要考查了导数的几何意义，求曲线在某点出的切线方程的方法，利用导数求切线方程是解决本题的关键