Question

已知函数= （，
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的交点，求的取值范围。
（3）设点和（是函数图像上的两点，平行于的切线以为切点，求证.

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）证明见解析．

试题分析：
解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）构造函数，将图像的交点个数转化为函数的零点个数，通过函数的极值的正负求参数的值；（3）构造函数，利用放缩法合理转化.
规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.
试题解析：(1)记，则的定义域为.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
由得，即，
令，；
当时，，则单调递增，且；
当时，，则单调递减，且，
所以在处取到最大值；
故要使与有两个不同的交点，只需.
(3）由已知：，所以
由，故
同理
综上所述得.