题目内容
已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2
cos2ωx-
（其中ω＞0），直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
．
（1）求ω的值；
（2）若f(α)=
，求sin(
-4α)的值．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 2 |
（1）求ω的值；
（2）若f(α)=
| 2 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
分析：（1）根据二倍角的三角函数公式化简，结合辅助角公式合并得f(x)=2sin(2ωx+
)，由三角函数的对称轴公式结合题意可得周期T=π，从而算出ω的值是1；
（2）由（1）得到函数的解析式为f(x)=2sin(2x+
)，结合f(α)=
算出sin(2α+
)=
．结合三角函数诱导公式进行配角：
-4α=
-2(2α+
)，再利用二倍角的余弦公式即可算出sin(
-4α)的值．
| π |
| 3 |
（2）由（1）得到函数的解析式为f(x)=2sin(2x+
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
解答：解：（1）∵sinωxcosωx=
sin2ωx，cos2ωx=
（1+cos2ωx）
∴f(x)=sin2ωx+
cos2ωx=2sin(2ωx+
)…（2分），
又∵直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
，
∴函数的最小正周期T=2×
=π…（3分），
由此可得T=
=
，解之得ω=1…（4分），
（2）由（1）得函数的解析式为f(x)=2sin(2x+
)，
由f(α)=
得sin(2α+
)=
…（8分），
∵
-4α=
-2(2α+
)，
∴sin(
-4α)=sin[
-2(2α+
)]=-cos2(2α+
)，…（10分）
∵cos2(2α+
)=1-2sin2(2α+
)=1-
=
∴sin(
-4α)=-
…（12分）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴f(x)=sin2ωx+
| 3 |
| π |
| 3 |
又∵直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
| π |
| 2 |
∴函数的最小正周期T=2×
| π |
| 2 |
由此可得T=
| 2π |
| 2ω |
| π |
| ω |
（2）由（1）得函数的解析式为f(x)=2sin(2x+
| π |
| 3 |
由f(α)=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵
| 5π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴sin(
| 5π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵cos2(2α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 7 |
| 9 |
∴sin(
| 5π |
| 6 |
| 7 |
| 9 |
点评：本题给出三角函数表达式，再已知函数的周期情况下求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换和诱导公式等知识，属于中档题．
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