Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是奇函数和单调性的定义，可得f（x）在[-1，1]上是增函数，再利用定义的逆用求解；
（2）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

•(x2-x1)＞0
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）为增函数
∵f(x+

1

2

)＜f(1-x)
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

∴0≤x＜

1

4

，
即不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)的解集为[0，

1

4

)．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t²-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t²-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴

t2-2×(-1)×t≥0 t2-2×1×t≥0

∴

t2+2t≥0 t2-2t≥0

解得t≤-2或t=0或t≥2．

点评：本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．