Question

若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（　　）

• A．(-1，-

  3

  4

  )
• B．(-

  5

  4

  ，-

  3

  4

  )
• C．(-

  5

  4

  ，-1)
• D．(-

  3

  4

  ，0)

Answer 1

分析：根据函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，则g（a）=b，g（b）=a，建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a²+a+m+1=0在区间（-1，-

1

2

）内有实数解进行求解．

解答：解：因为函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，所以a＜b＜0，
所以当x∈[a，b]时，函数单调递减，则g（a）=b，g（b）=a，
即a²+m=b，b²+m=a，
两式相减得a²-b²=b-a，即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，且b=-（a+1），
∴a＜-（a+1）＜0，
即

a＜-a-1 a+1＞0

，∴

a＜- 1 2 a＞-1

，
解得-1＜a＜-

1

2

．
故关于a的方程a²+a+m+1=0在区间（-1，-

1

2

）内有实数解，
记h（a）=a²+a+m+1，
则 h（-1）＞0，h（-

1

2

）＜0，即1-1+m+1＞0且

1

4

-

1

2

+m+1＜0，
解得m＞-1且m＜-

3

4

．
即-1＜m＜-

3

4

，
故选A．

点评：本题主要考查新定义的应用，综合性较强，难度较大．