Question

已知实数a，b，c∈R，a+b+c=1，求4^a+4^b+4^c2的最小值，并求出取最小值时a，b，c的值．

Answer 1

分析：已知a+b+c=1求4^a+4^b+4c2的最小值，4^a，4^b，4c2三个数都是正数，用三项的基本不等式求解，等号成立的条件是a=b=c²，从而求出最小值时a，b，c的值．

解答：解：由均值不等式，得4^a+4^b+4c2≥3

3	4a•4b•4c2

=3

3	4a+b+c2

（当且仅当a=b=c²时等号成立）
∵a+b+c=1
∴a+b=1-c
则a+b+c²=c²-c+1=（c-

1

2

）²+

3

4

，
当c=

1

2

时，a+b+c²取得最小值

3

4

．
从而当a=b=

1

4

，c=

1

2

时，4^a+4^b+4c2取最小值，最小值为3

2

．

点评：此题考查了创造条件使用平均值不等式求取值范围问题，三个数的条件不等式，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法．是中档题．