Question

（2013•青岛一模）已知函数f（x）的图象经过点（1，5），且对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x）+3，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

3n，n=2k-1 f(an)，n=2k

（k为正整数）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1（n∈N^*）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x+1）=f（x）+3⇒f（n+1）-f（n）=3，从而可知{f（n）}是以3为公差的等差数列，f（1）=5，结合题意a_n+1=

3n，n=2k-1 f(an)，n=2k

（k为正整数）可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T=a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1，可求得T=[1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2]+2（n²-1），利用错位相减法即可求得其和．

解答：解：（Ⅰ）由题意知f（1）=5，又对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x）+3，所以有f（n+1）-f（n）=3，从而{f（n）}是以f（1）=5为首项，3为公差的等差数列，
故f（n）=5+3（n-1）=3n+2…（2分）
当n为偶数时，a_n=3^n-1，
当n为奇数且n≥3时，a_n=f（a_n-1）=3a_n-1+2=3•3^n-2+2=3^n-1+2，
综上，a_n=

1，n=1 3n-1，n=2k 3n-1+2，n=2k+1

（k为正整数）…（6分）
（Ⅱ）a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1
=1+3×（3²+2）+5×（3⁴+2）+…+（2n-1）×（3^2n-2+2）
=[1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2]+2[3+5+7+…+（2n-1）]
=[1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2]+2（n²-1）
令T=1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2
则9T=3²+3×3⁴+5×3⁶+…+（2n-1）×3²ⁿ
两式相减：
-8T=1+2（3²+3⁴+3⁶+…+3^2n-2）-（2n-1）×3²ⁿ，
T=（

n

4

-

5

32

）•3²ⁿ+

5

32

．
所以a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1=（

n

4

-

5

32

）•3²ⁿ+2n²-

59

32

…（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查错位相减法求和，考查分析与综合运算能力，属于难题．