题目内容
已知椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）若椭圆的焦距为2
| 3 |
8
| ||
| 3 |
（Ⅱ）在（I）的条件下，椭圆上有一点M，满足MF1⊥MF2，求△MF1F2的面积；
（Ⅲ）过焦点F2作椭圆长轴的垂线与椭圆交于第一象限点P，连接PO并延长交椭圆于点Q，连接QF2并延长交椭圆于点H，若PH⊥PQ，求椭圆的离心率．
分析：（Ⅰ）由椭圆的焦距可求c，再由两条准线间的距离为
可求a，利用条件b2=a2-c2求出b2，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）因为点M在椭圆上，利用椭圆定义得到MF1+MF2=4，由MF1⊥MF2得到MF12+MF22=12两式联立得到MF1•MF2=2，则△MF1F2的面积可求；
（Ⅲ）首先求出P点坐标，利用对称性求出Q点坐标，写出直线QF2的方程后和椭圆联立求出H的坐标，然后利用PH和PQ所在直线的斜率之积等于-1得到a，b的关系式，则离心率可求．
8
| ||
| 3 |
（Ⅱ）因为点M在椭圆上，利用椭圆定义得到MF1+MF2=4，由MF1⊥MF2得到MF12+MF22=12两式联立得到MF1•MF2=2，则△MF1F2的面积可求；
（Ⅲ）首先求出P点坐标，利用对称性求出Q点坐标，写出直线QF2的方程后和椭圆联立求出H的坐标，然后利用PH和PQ所在直线的斜率之积等于-1得到a，b的关系式，则离心率可求．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知2c=2
，∴c=
，
由
=
，得a2=
c=
×
=4，
∴b2=a2-c2=4-3=1．
即椭圆的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）由椭圆定义得MF1+MF2=4 ①
因为MF1⊥MF2，所以MF12+MF22=12 ②
将①2-②：得MF1•MF2=2
故△MF1F2的面积S=
|MF1|•|MF2|=
×2=1；
（Ⅲ）把x=c代入椭圆
+
=1，得y=
=
，
所以点P的坐标为(c，
)，则Q(-c，-
)，F2（c，0），
直线QF2方程为
=
，即y=
(x-c)，
与椭圆
+
=1联立得H点坐标为(
，
)，
由PH⊥PQ得，kPQ•kPH=-1，即
•
=-1，
化简得a2=2b2，
即 a2=2（a2-c2），即 e2=
，又0＜e＜1，所以e=
．
| 3 |
| 3 |
由
| 2a2 |
| c |
8
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| 3 |
∴b2=a2-c2=4-3=1．
即椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）由椭圆定义得MF1+MF2=4 ①
因为MF1⊥MF2，所以MF12+MF22=12 ②
将①2-②：得MF1•MF2=2
故△MF1F2的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）把x=c代入椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
b2(1-
|
| b2 |
| a |
所以点P的坐标为(c，
| b2 |
| a |
| b2 |
| a |
直线QF2方程为
| y-0 | ||
-
|
| x-c |
| -c-c |
| b2 |
| 2ac |
与椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4a2c-b2c |
| 4c2+b2 |
| b4 |
| a(4c2+b2) |
由PH⊥PQ得，kPQ•kPH=-1，即
| b2 |
| ac |
| ||||
|
化简得a2=2b2，
即 a2=2（a2-c2），即 e2=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，该题思路清晰，运算复杂，考查了学生的运算能力．属难题．
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