Question

【题目】如图，从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以，为母线卷成两个高均为的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为．

（1）将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）求两个圆柱体积之和的最大值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；

（2）利用导数判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．

（1）设半圆形铁皮的半径为，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为，．

因为半圆形铁皮的面积为，所以，即．

因为，所以，

同理，即．

所以卷成的两个圆柱的体积之和．

因为，所以的取值范围是．

（2）由，得，

令，因为，故

当时，；当时， ，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以当时，取得极大值，也是最大值．

因此的最大值为．

答：两个圆柱体积之和的最大值为．