Question

已知函数f（x）=e^x+2﹣3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥+（a﹣3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f'（x）=e^x+4x﹣3
则f'（1）=e+1，
又f（1）=e﹣1
∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为y﹣e+1=（e+1）（x﹣1）
即（e+1）x﹣y﹣2=0
（2）由f（x）≥+（a﹣3）x+1得e^x+2﹣3x≥+（a﹣3）x+1
即ax≤e^x﹣﹣1
∵x≥1
∴a≤
记g（x）=，则g'（x）=
记φ（x）=e^x（x﹣1）﹣+1
则φ'（x）=x（e^x﹣1）
∵x≥1，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥φ（1）=＞0
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥g（1）=e﹣
由a≤g（x）恒成立，得a≤g（x）min，
∴a≤e﹣即a的取值范围是（﹣∞，e﹣]