Question

没椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

1(a＞b＞0)的左、右焦点分别F₁、F₂，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F₁F₂的周长为16．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出；
（Ⅱ）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意得

2c=6 2c+2a=16 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=4 c=3

，
∴椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1；
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线l的方程为y=

4

5

(x-3)，
与椭圆的方程联立

y= 4 5 (x-3) x2 25 + y2 16 =1

，消去y得到x²-3x-8=0，
∵x₁+x₂=3，∴线段AB的中点的横坐标为

x1+x2

2

=

3

2

．
∴线段AB的中点的纵坐标为

4

5

×(

3

2

-3)=-

6

5

．
∴线段AB的中点的坐标为(

3

2

，-

6

5

)．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、线段的中点坐标公式是解题的关键．