Question

4．已知a，b，c为正数，且a³+b³+c³=3abc，求证：a=b=c．

Answer 1

分析 先将a³+b³+c³-3abc分解因式为（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），然后根据a、b、c为正数，可得出a²+b²+c²-ab-bc-ca=0，配方后根据完全平方的非负性即可证明a=b=c．

解答 证明：a³+b³+c³-3abc=（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）²-c（a+b）+c²]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）=0，
∵a，b，c为正数，
∴a+b+c＞0，
即可得a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c．

点评 此题主要考查了立方公式的综合应用，说明公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．