题目内容

已知函数f(x)=x+，g(x)=x+lnx，其中a＞0．
(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a的值；
(Ⅱ)若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围。
解：(Ⅰ)因为，其定义域为，
所以，，
由x=1是函数h(x)的极值点，得，即3-a2=0，
又由a＞0，得，
经检验，当时，x=1是函数h(x)的极值点，
所以，。
(Ⅱ)若对任意的都有成立等价于
对任意的都有，
当时，，所以函数g(x)在上是增函数，
所以，，
又由，且，a＞0，
（1）当0＜a＜1且时，，
所以函数f(x)在上是增函数，
所以，，
由，得，
又由0＜a＜1知a不合题意，舍去；
（2）当时，
若，则；
若，则，
所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数，
所以，，
由，得，
又，所以，；
（3）当a＞e且时，，
所以函数f(x)在上是减函数，
所以，，
由，得，
又，所以；
综上所述，a的取值范围是。
练习册系列答案
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已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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