Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，其前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，1+a₃成等比数列．
（I）求{a_n}的通项公式；（II）记bn=

1

anan+1

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）直接由S₃=12以及2a₁，a₂，1+a₃成等比数列，列出关于首项和公差的等式，解方程即可求{a_n}的通项公式；
（II）先把数列{b_n}的通项裂开，再求和即可．

解答：解：（I）由题得：

2a1(a3+1)=a22 a1+a2+a3=12

即

a1(a1+2d+1) =8 a1+d=4

，得d²+d-12=0．
∵d＞0，∴d=3，a₁=1．
∴{a_n}的通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及裂项求和的应用．第一问考查方程思想在解决数列问题中的应用．在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题．