Question

(本小题满分14分)

已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），即为动圆圆心C的轨迹M的方程．（II）

【解析】(I)由题意可动圆圆心C到圆心C₁（0，2）的距离比它到直线y=-1的距离小1,所以C到C₁的距离与它到直线y=-2的距离相等.因而其轨迹为抛物线.

（II）设点P的坐标为，则根据导数可求出切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．再根据此直线过点A（0，6），可求出点P的坐标，进而求出PQ的方程然后再与抛物线方程联立可得Q的坐标.

从而可求出的面积.

解：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，

则，且，可得 ．

由于圆C₁在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程．

（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．

由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为．

把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，

解得或4，可得点Q的坐标为．

所以