Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

（x∈R）是奇函数，
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，由此可求得a值；
（Ⅱ）由y=1-

2

2x+1

得2^x=

y+1

1-y

，由2^x＞0，得

y+1

1-y

＞0，解出即得值域；
（Ⅲ）根据函数单调性的定义可作出判断．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）在R上是奇函数，
所以f（0）=0，即a-

2

20+1

=0，解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=1-

2

2x+1

，
由y=1-

2

2x+1

得2^x=

y+1

1-y

，
因为x∈R，所以2^x＞0，所以

y+1

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
所以f（x）的值域为（-1，1）．
（Ⅲ）f（x）在R上是增函数，
任取x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
因为x₁＜x₂，所以2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查奇偶性的应用、单调性的判断及函数值域的求解，考查学生解决问题的能力．