题目内容

阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

 

【答案】

 (Ⅰ)见解析

(Ⅱ)勾股定理的逆定理知为直角三角形.

【解析】（1）写出两角和与差的余弦公式，两式相减，类比已知条件整理可证结论；

（2）根据二倍角的正弦公式把分别用表示，再由正弦定理分别用表示，已知条件可转化为.所以为直角三角形.也可以用（1）的结论化为角分析

解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①

，------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

令有，

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化为

,…………………………………8分

所以.…………………………………9分

设的三个内角A,B,C所对的边分别为，

由正弦定理可得.………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为

，…………………………………8分

因为A,B,C为的内角，所以，

所以.

又因为，所以,

所以.                                               

从而.……………………………………………9分

又,所以，故.……………………………………11分

所以为直角三角形.

 

练习册系列答案
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阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用阅读材料及（1）中的结论试判断△ABC的形状．
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=1-cos2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）
阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ） 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）
（2012•福建模拟）阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin2C，试判断△ABC的形状．
（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有

              ----------①

                  ------②

由①+② 得        ------③

令 有

代入③得 ．

（1）利用上述结论，试求的值。

（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;

 

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