Question

已知函数f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sincosx-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程和单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先将f（x）进行化简，整理得到一个角的正弦函数，
（Ⅰ）根据正弦函数的性质，即可求出f（x）的对称轴方程和单调递减区间；
（Ⅱ）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=-

2

×

2

2

×（sin2x+cos2x）+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
（Ⅰ）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z，
则f（x）单调递减区间为[kπ+

3π

8

kπ+

7π

8

]k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，
即-2≤sin（2x-

π

4

）≤2

2

，
则f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值分别为2

2

，1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的值域与与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．