Question

（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程为  则

 

   得：，，

 

所以所求椭圆C的方程为

 

（2）方法一、由（1）知，由题意可设 

线段的垂直平分线方程为  ①

因为线段的中心为，斜率为.

 

所以线段的垂直平分线方程为

 

即：　　②

 

联立①②，解得

 

即：圆心     

 

因为，所以，当且仅当  即：时，

 

圆心到轴的距离最小，此时圆心为，半径为，

故所求圆的方程为.

方法二：由（1）知F（2，0）由题可设的方程为

将点F、P的坐标代入得 解得：

 

所以圆心的坐标为，即：

 

因为，所以，当且仅当  即：时，

 

所以圆心到轴的距离最小，此时

故所求圆的方程为：

【解析】略