Question

设a∈R，函数f（x）=x²+ax+4．（1）解不等式f（x）+f（-x）＜10x；（2）求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）将自变量代入函数关系式，建立一元二次不等式，解之即可；
（2）函数的对称轴为x=-

a

2

，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[1，2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值．

解答：解：（1）f（x）+f（-x）＜10x，即2x²+8＜10x，…（2分）
化简整理得x²-5x+4＜0，解得1＜x＜4．…（4分）
（2）函数f（x）=x²+ax+4图象的对称轴方程是x=-

a

2

．
①当-

a

2

≤1，即a≥-2时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，所以f（x）_min=f（1）=a+5；            …（6分）
②当1＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜-2时，f（x）在区间[1， -

a

2

]上单调递减，在[-

a

2

， 2]上单调递增所以，f(x)min=f(-

a

2

)=4-

a2

4

；                       …（8分）
③当-

a

2

≥2，即a≤-4时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，所以f（x）_min=f（2）=2a+8．
综上，g(a)=

a+5，a≥-2 4- a2 4 ，-4＜a＜-2 2a+8，a≤-4.

…（10分）

点评：函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．