题目内容

证明函数y=(a≠1)的图象关于直线y=x对称．

答案：
解析：

　　证法1 易求得函数y=(a≠1)的反函数为其自身：y=．

　　∴函数y=的图象关于直线y=x对称．

　　证法2 设点P(,)是这个函数图象上的一点，则且=

　　易知点P关于直线y=x的对称点的的坐标为(，)．

由①式得(a-1)=-1，即(a-1)=-1   ② 

　　如果a-1=0，则=．代入 ① 得 解得a=1，与已知矛盾．

　　于是a-1≠0，∴由②得=．

　　这说明点(，)在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．


练习册系列答案
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设向量
a 
=(x ， 2)，
b 
=(x+n ， 2x-1)（n为正整数），函数y=
a 
•
b 
在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1．
（1）求证：an=n+1（2）．
（2）求bn的表达式．
（3）若cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论．（注：
a 
=( a1 ，a2 )与
a 
={ a1 ，a2 }表示意义相同）
已知定义在正实数集R上的函数y=f（x）满足：①对任意a，b∈R都有f（a•b）=f（a）+f（b）②当x＞1时，f（x）＜0   ③f（3）=-1
（1）求f（1）的值
（2）证明函数y=f（x）在R上为单调减函数
（3）若集合A={（p，q）|f（p2+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（
p
q
）+
1
2
=0，p，q∈R+}，问是否存在p，q，使A∩B≠∅，若存在，求出p，q的值，不存在则说明理由．
已知函数f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-
3
4
，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(
1
3
，
3
10
)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，证明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）
指出函数y=ax3+1的单调性，并加以证明．（其中a是非零常数）

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