Question

设m，n（m≠n）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若m=-1，n=2，求函数f（x）解析式；
（2）若|m|+|n|=2

2

，求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），知f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）依题意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，由此能求出f（x）．
（2）先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为m，n（m≠n），可以得到△＞0且由韦达定理可得m+n，mn，把等式转化为关于m+n，mn的关系式，求出a、b的关系，把a看成未知数x，求三次函数的最值，利用导数求极值，是b²最大值，开方可求b的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（2）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，m，n是方程f'（x）=0的两个根，
且|m|+|n|=2

2

，
∴（m+n）²-2mn+2|mn|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）
∵b²≥0，
∴0＜a≤6，
设p（a）=3a²（6-a），
则p′（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，
由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，
在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4

6

．

点评：本题考查函数解析式的求法和实数b的最大值的求法．由原函数极值点的个数判断出导函数解的个数，利用判别式得参数的关系，用韦达定理把参数和解联系起来，韦达定理是个很好的“桥梁”，求最大值要先求极大值，三次函数一般用导数来求．