Question

已知函数y=f（x）=（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得c=0，进而把函数解析式整理成的形式，根据均值不等式求得函数f（x）的最小值的表达式为a和b的关系，进而根据f（1）＜求得b的范围，最后求得b的值，则a的值可得．进而求得函数f（x）的解析式．
（2）假设存在一点（x，y）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x，-y）也在y=f（x）图象上，则可得x与y两个关系式进而求出得到．
解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即，
∴c=0．
∵a＞0，b＞0，
∴当x＞0时，有f（x）=≥2，
当且仅当x=时等号成立，于是2=2，∴a=b²，
由f（1）＜得即，
∴2b²-5b+2＜0，解得＜b＜2，又b∈N，
∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+．
（2）假设存在一点（x，y）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x，-y）也在y=f（x）图象上，
则，
所以消去y得x²-2x-1=0，解得x=1±．
∴y=f（x）图象上存在两点（1+，2），（1-，-2）关于（1，0）对称．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，均值不等式的应用及函数的对称性．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．