Question

等差数列{a_n}的公差是正数，前n项的和S_n，且a₃a₇=-15，a₄+a₆=-2，
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项的和S_n．
（2）设bn=

1

n(an+13)

(n∈N*)，求{b_n}的前n项的和T_n（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}为等差数列，所以可用a₁和d表示a₃，a₇，a₄，a₆，再代入a₃a₇=-15，a₄+a₆=-2，就可求出a₁和d，
再代入等差数列的通项公式和前n项和公式即可
（2）把（1）中求出的数列{a_n}的通项公式代入bn=

1

n(an+13)

(n∈N*)，化简，再用裂项相消法求{．b_n}的前n项的和T_n．

解答：解；（1）∵数列{a_n}为等差数列，
∴₃a₇=（a₁+2d）（a₁+6d）=-15，a₄+a₆=（a₁+3d）+（a₁+5d）=-2
解得

a1=-9 d=2

或

a1=7 d=-2

，
又∵数列{a_n}的公差是正数，∴

a1=-9 d=2

∴数列{a_n}的通项公式a_n=-9+2（n-1）=2n-11
前n项的和S_n=-9n+

n(n-1)×2

2

=n²-10n
（2）∵bn=

1

n(an+13)

(n∈N*)，∴bn=

1

n(2n-11 +13)

，
即bn=

1

2n(n +1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=

1

2

（

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

2

（1--

1

n+1

）=

n

2(n+1)

∴{b_n}的前n项的和T_n=

n

2(n+1)

点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，以及裂项相消法求和，属于数列的常规题，应当掌握．