Question

在数列{a_n}和{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（3）求证：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入条件求出a₂，b₂，同理令n=2，3即可求得a₃，a₄和b₂，b₃，b₄
（2）由（1）猜想：an=

n(n+1)

2

，bn=

(n+1)2

2

．再利用数学归纳法证明即得；
（3）通过分析法先分析，欲证

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

即证

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

n

n+1

，下面用数学归纳法证明．

解答：解：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入条件得：

1 +a2=2×2  a 2 2 =2b2

，解得a₂=3，b2=

9

2

，
同理得a₃=6，b₃=8，a₄=10，b4=

25

2

．（4分）
（2）猜想：an=

n(n+1)

2

，bn=

(n+1)2

2

．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，结论显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即ak=

1

2

k(k+1)，bk=

1

2

(k+1)2
当n=k+1时，a_k+1=2b_k-a_k=(k+1)2-

1

2

k(k+1)=

1

2

(k+1)(k+2)b_k+1=

a 2 k+1

bk

=

1

2

(k+2)2
所以当n=k+1时，结论也成立
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N^*，an=

n(n+1)

2

，b_n=

(n+1)2

2

都成立．（8分）
（3）欲证

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

即证

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

n

n+1

下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=

1

22

=

1

4

，右=

1

2

，不等式显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

＜

k

k+1

当n=k+1时

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

k

k+1

+

1

(k+2)2

而

k

k+1

+

1

(k+2)2

-

k+1

k+2

=

-1

(k+1)(k+2)2

＜0
所以

k

k+1

+

1

(k+2)2

＜

k+1

k+2

即

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

k+1

k+2

则n=k+1时不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N^*，都有

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

n

n+1

亦即

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

．（12分）

点评：本小题主要考查数列的函数特性、数列与不等式的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．利用数学归纳法证明数学命题或不等式时，要注意由归纳假设n=k成立推到n=k+1是数学归纳法的关键．