Question

设椭圆（a＞b＞0）与双曲线有相同的焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），P为椭圆上一点，△PF₁F₂的最大面积等于．过点N（-3，0）且倾角为30°的直线l交椭圆于A、
B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：点F₁（-c，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）设E、F是直线l上的不同两点，以线段EF为直径的圆过点F₁（-c，0），求|EF|的最小值并求出对应的圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆（a＞b＞0）半焦距c=2，再根据△PF₁F₂的最大面积求得b值，从而可得所求椭圆方程；
（2）通过方程组，求出圆心的坐标及圆的直径，得出线段AB为直径的圆方程，将点F₁（-2，0）代入验证满足圆该圆方程，从而得到以线段AB为直径的圆过定点F₁；
（3）取EF的中点D为圆心，|EF|=2|DF₁|利用线段DF₁的最小值求得|EF|_min=1．通过联解方程组，得到圆心坐标及半径大小，由此即可写出|EF|取最小值时相应的圆方程．
解答：解：（1）∵双曲线的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴椭圆（a＞b＞0）半焦距为：2，
又△PF₁F₂的最大面积等于bc=2b=，∴b=
从而，椭圆方程为：
（2）∵，∴由消去y，得2x²+6x+3=0
因此，可得圆心坐标为，半径
∴圆方程为
∵点F₁（-2，0）满足圆方程．
∴以线段AB为直径的圆过定点F₁
（3）取EF的中点D为圆心，则|EF|=2|DF₁|
∴|EF|达到最小值时，F₁D恰好是点F₁到直线l的距离，
即，可得|EF|_min=1；
此时，，联立方程
得圆心为，半径为
∴|EF|取最小值时，相应的圆方程为
点评：本小题主要考查双曲线及椭圆的方程和几何性质、圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想，属于中档题．