Question

已知

（1）判断奇偶性并证明；

（2）判断单调性并用单调性定义证明；

（3）若，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）为上的奇函数；（2）在上单调递增；（3）或.

【解析】

试题分析：(1)证明函数的奇偶性步骤：第一步，判断定义域是否关于原点对称，本题中函数的定义域为，关于原点对称；第二步，判断与的关系，本题中，所以原函数为上的奇函数；（2）本题中利用定义证明函数的单调性步骤：第一步，任取且，再比较与的大小关系，得到，所以在上单调递增得证；（3）解不等式一种是直接法，一种是单调性法.本题中用后者比较简单，首先移项，利用函数为奇函数，将原不等式变形为，再利用单调性，同解变形为，进一步解得结果.

试题解析：（1）定义域为，关于原点对称. 2分

为上的奇函数. 4分

设

则

又

即

在上单调递增. 8分

（3） 为上的奇函数.

又在上单调递增. 或. 12分

考点：1.函数奇偶性的判断；（2）函数单调性的定义；（3）利用函数奇偶性和单调性解不等式.