Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn=1-

1

2

bn(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}中的最大项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于数列{a_n}是等差数列，故只需求出首项和公差就可求其通项公式；由数列{b_n}的前n项和为T_n   通过递推然后两式相减可求得b_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c_n的表达式，通过探讨数列的单调性c_n的最大项．

解答：解：（Ⅰ）设a_n的首项为a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴

a2+a5=12 a2•a5=27

?

a1=1 d=2

∴a_n=2n-1
n=1时，b1=T1=1-

1

2

b1
∴b1=

2

3

n≥2时，Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
两式相减得bn=

1

3

bn-1数列是等比数列，
∴bn=

2

3

•(

1

3

)n-1
（Ⅱ）cn=(2n-1)•

2

3

•(

1

3

)n-1cn+1-cn=

8

3

•(

1

3

)n(1-n)
∴当n=1时，c₂=c₁
当n≥2时，c_n+1＜c_n，∴c_n单调递减，
∴数列{c_n}中的最大项为c₁=c₂=

2

3

点评：本题是个中档题，主要考查利用递推关系式求数列通项的方法，同时考查了等差数列的通项公式，以及数列的单调性的探讨方法，体现了分类讨论与整合的思想方法．