Question

已知函数f(x)＝x－klnx，常数k＞0．

(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数g(x)＝xf(x)在区间(1，2)上是增函数，求k的取值范围；

(Ⅲ)设函数F(x)＝f(x)＋f()，求证：F(1)F(2)F(3)…F(2n)＞2ⁿ(n＋1)ⁿ(n∈N^*)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)，因为是函数的一个极值点，，　2分 　　所以令，再令　3分 　　故函数的单调递增区间是，单调递减区间是　4分 　　(Ⅱ)因为函数在区间上是增函数，则对恒成立． 　　即对恒成立　5分 　　令，则知对恒成立　6分 　　所以在单调递增，　7分 　　所以．　8分 　　(Ⅲ)F(x)＝＝， 　　＝()()……() 　　因为()()＝＋＋＞＝＞　10分 　　 　　所以()()＞ 　　()()＞ 　　…… 　　()()＞ 　　()()＞　11分 　　相乘，得： 　　＝()()……()＞．　12分