题目内容

已知 $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ 是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）在 $数学公式$ 上是增函数，求ω的最大值；并求此时g（x）在[0，π]上的取值范围．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ sinωx+3cosωx=2 $\text{[math]}$ sin（ωx+ $\text{[math]}$ ），
∴y=f（x+θ）=2 $\text{[math]}$ sin[ω（x+θ）+ $\text{[math]}$ ]，
∵y=f（x+θ）是周期为π的偶函数，0＜θ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ω=2，2θ+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴k=0，θ= $\text{[math]}$ ．
（2））∵g（x）=f（3x）=2 $\text{[math]}$ sin（3ωx+ $\text{[math]}$ ）在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是增函数，
∴由2kπ- $\text{[math]}$ ≤3ωx+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），ω＞0得：
$\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ （k∈Z），
∵f（3x）=2 $\text{[math]}$ sin（3ωx+ $\text{[math]}$ ）在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是增函数，
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ≤- $\text{[math]}$ ，ω＞0
∴0＜ω≤ $\text{[math]}$ ．
∴ω_max= $\text{[math]}$ ．
当ω= $\text{[math]}$ 时，f（x）=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ），f（3x）=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）．
∵x∈[0，π]，
∴ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ≤sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）≤1．
∴ $\text{[math]}$ ≤2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）≤2 $\text{[math]}$ ．
∴当x∈[0，π]，f（3x）=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）∈[ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）依题意，y=f（x+θ）=2 $\text{[math]}$ sin[ω（x+θ）+ $\text{[math]}$ ]，利用y=f（x+θ）是周期为π的偶函数，0＜θ＜ $\text{[math]}$ ，即可求得ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）=2 $\text{[math]}$ sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于难题．