Question

【题目】已知的圆心为，的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)过点的直线交曲线于两点，交直线于点，是否存在实数，使得成立?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在，2.

【解析】

（1）利用动圆与圆内切，与圆外切可得动圆圆心满足的几何性质，再根据椭圆的定义可得的轨迹方程.

（2）设的方程为，，，则，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简前者可得的值.

(1)设动圆圆心，设动圆的半径为，由题意有

，，消得到：，

故轨迹的方程为：，它是椭圆.

(2)由己知得，由题知直线的斜率存在，设其方程为，，，则.

等价于即，

即证明成立，

也即①.

联立方程，消去得：

由韦达定理得，

代入①可得

所以存在实数满足题意.