题目内容
已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n,m∈R +},求不等式cx2+bx+a＜0的解集.
解法一:由韦达定理及其逆定理来构建一个一元二次不等式,通过对比来求解.?
原不等式的解集为{x|m＜x＜n,m∈R+}.?
∴可知二次项系数a＜0.再由韦达定理可知,?
m+n=-
,m·n=
.?
现对cx2+bx+a＜0两边同除以a,可得
x2+
x+1＞0.?
∴可有mnx2-(m+n)x+1＞0,即有(mx-1)(nx-1)＞0.?
又由已知条件虽然有n＞m＞0,?
∴由不等式性质知0＜
＜
.?
故cx2+bx+a＜0的解集为{x|x＜
或x＞
,n＞m＞0}.?
解法二:注意到,若x≠0时,不等式cx2+bx+a＜0可化归为a(
)2+b(
)+c＜0.?
再利用换元思想去对比已知条件中不等式ax2+bx+c＞0的解集{x|m＜x＜n,m∈R+},来获取不等式cx2+bx+a＜0的解集.?
由解法一可知,a＜0.?
∴x=0是cx2+bx+a＜0的一个解.?
又当x≠0时,x2＞0,现将不等式cx2+bx+a＜0两边同除以x2,得a·(
)2+b·(
)+c＜0.(*)?
∵ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n,m∈R+},?
∴(*)的解为
＞n或
＜m.?
又∵n＞m＞0,?
即有x＜
或x＞
,故不等式cx2+bx+a＜0的解集为{x|x＜
或x＞
,n＞m＞0}.
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