Question

已知偶函数f（x）=x²+bx+c（常数b、c∈R）的一个零点为1，直线l：y=kx+m（k＞m∈R）与函数y=f（x）的图象相比．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求

m

k

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=x²+bx+c为偶函数，可得b=0，根据函数f（x）=x²+bx+c（常数b、c∈R）的一个零点为1，可得c=-1，从而可求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入y=x²-1，利用直线l：y=kx+m（k＞m∈R）与函数y=f（x）的图象相切，可判别式为0，从而m=-

k2+4

4

，进而可得

m

k

=-

1

4

(k+

4

k

)，利用基本不等式可求

m

k

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+bx+c为偶函数
∴f（-x）=f（x）
∴x²-bx+c=x²+bx+c
∴b=0
∵函数f（x）=x²+bx+c（常数b、c∈R）的一个零点为1，
∴f（1）=0
∴c=-1
∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=x²-1；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入y=x²-1，∴x²-kx-m-1=0
∵直线l：y=kx+m（k＞m∈R）与函数y=f（x）的图象相切
∴△=k²-4（-m-1）=k²+4m+4=0
∴m=-

k2+4

4

∴

m

k

=-

1

4

(k+

4

k

)
∵k＞0，∴k+

4

k

≥ 4
∴

m

k

=-

1

4

(k+

4

k

)≤-1
∴

m

k

的取值范围是（-∞，-1]

点评：本题重点考查函数的解析式，考查直线与函数图象的位置关系，考查基本不等式的运用，综合性强．